sábado, 11 de diciembre de 2010

sábado, 20 de noviembre de 2010

Rectas y su relación con Ángulos, Circunferencias y Puntos Notables de un Triángulo

Para facilitar el estudio y/o enseñanza de las posiciones relativas entre rectas y circunferencias, determinar su relación con los ángulos de una circunferencia, así como con los puntos notables de un triángulo, se presenta a continuación una serie de actividades interactivas relacionadas con el tema de Rectas.





Multiplicación y División de fracciones

Aquí dos videos de multiplicación  y división de fracciones, así como algunas ligas a sitios  problemas y ejercicios interactivos relacionados con esos temas









 Página con ejercicios y juegos interactivos de multiplicación y división de fracciones

Video de División de Fracciones utilizando los productos cruzados
y la multiplicación del recíproco de la segunda fracción



domingo, 7 de noviembre de 2010

Pregunta abierta

El uso de las tecnologías de la información y la comunicación en la clase de matemáticas supone una serie de cambios necesarios en la práctica docente y que se encuentran vinculados a la propia concepción del profesor de lo que significa enseñar y aprender matemáticas, misma que deriva en las muy diversas formas de organizar y estructurar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas; para coadyuvar a que los estudiantes desarrollen sus competencias. Todo esto implica, por supuesto, que el maestro de matemáticas del siglo XXI desarrolle a su vez, competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Cabe preguntarse entonces:

¿Podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos que actualmente introducen en la currícula de la educación matemática el uso de las tecnologías de la comunicación y la información?

Ustedes, ¿qué opinan?

sábado, 6 de noviembre de 2010

Características de las Buenas Prácticas para Enseñar Matemáticas según el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas


 
Las que siguen son características importantes e interrelacionadas de las mejores prácticas para enseñar matemáticas incluidas en los reportes de la NCTM. Al final presentamos un cuadro con sugerencias de lo que se debe aumentar y lo que se debe disminuir en la enseñanza en el aula de clase.

  • El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática. Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacen sentido y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos dotados.
  • Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación.Se debe alentar a los estudiantes a formular y resolver problemas relacionados con su entorno para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Experiencias y materiales concretos ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Los estudiantes deben tratar de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y qué piensan de otras ideas relacionadas.
  • Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir. Los maestros que ayudan a los niños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a asignarles trabajos de práctica de cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. En cambio realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos maestros regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones. Los niños aprenden, además, los mejores métodos para determinar cuándo y cómo utilizar una gama amplia de técnicas computacionales tales como aritmética mental, estimaciones y calculadoras, o procedimientos con lápiz y papel.
  • Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado.Matemáticas es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones  constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej: física, verbal, numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas.
  • La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática. Ampliamente definida, la solución de problemas es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución de problemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen preguntas, tareas y situaciones que tanto ellos como el docente podrían sugerir. Los estudiantes generan y aplican estrategias para trabajarlos y resolverlos.

  • Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas. Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas profundiza el entendimiento en esta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras relacionando activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobre ellas y clarificando su propio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros. Uno de los mayores cambios en la enseñanza matemática se ha dado ayudando a los estudiantes a trabajar en grupos pequeños en proyectos de recolección de datos, construcción de gráficas y cuadros con sus hallazgos y resolución de problemas. Dar a los estudiantes oportunidades para realizar trabajo reflexivo y colaborativo con otros, constituye parte crítica de la enseñanza de matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantes necesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas que tengan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, el profesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene “la respuesta”. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el maestro.
  • Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que las matemáticas hacen sentido, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto. Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas aplicando varios procesos de razonamiento y extrayendo conclusiones lógicas.Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y sus representaciones, es tarea muy importante del maestro; cómo también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los estudiantes discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación del maestro.
  • Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y aplicados, ampliamente. Los problemas del mundo real requieren una ersidad de herramientas para poder manejar la información cuantitativa. Los estudiantes deben tener una buena cantidad de experiencias para poder desarrollar un sentido intuitivo de números y operaciones; una forma de “sentir” lo que está ocurriendo en las distintas situaciones en las que se podrían utilizar varias operaciones. Para dar un ejemplo de lo anterior, dos concepciones diferentes de la resta están involucradas si se pregunta (1) Si tengo tres canicas y entrego dos, ¿cuántas conservo? Versus (2) Si tengo tres canicas y otra persona tiene siete, ¿cuántas canicas de más tiene la otra persona? El maestro no debe eludir la diferencia entre las dos situaciones, invocando simplemente el procedimiento de la resta, con el fin de encontrar la “respuesta correcta”.
  • Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuando los estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión inicial en ambientes del mundo real. Desarrollan su sentido espacial en dos o tres dimensiones por medio de exploración con objetos reales. Los conceptos de medición se entienden mejor con experiencias verdaderas realizando mediciones y estimación de medidas. Lo que es más importante es que esas experiencias son especialmente valiosas para construir sentido numérico y operativo.

    La Resolución de Problemas en la Enseñanza de las Matemáticas


    La resolución de problemas es el eje articulador de un currículo que fomenta el desarrollo de competencias matemáticas. Así,  la resolución de problemas es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución de problemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades.
    Así, la resolución de problemas es una actividad compleja que pone en juego un amplio conjunto de habilidades y que incluye elementos de creación debido a que la persona carece de procedimientos preaprendidos para el efecto.
    Por esta razón, el desarrollo de la capacidad para resolver problemas es un proceso de largo aliento que requiere de una orientación persistente de parte del educador. Es necesario organizar los procesos de enseñanza de modo de incluir un trabajo sistemático orientado a lograr que los estudiantes vayan consolidando paulatinamente las distintas facetas de la resolución de problemas.
    El proceso de resolución de un problema se inicia necesariamente con una adecuada comprensión de la situación problemática. Es preciso que el estudiante llegue a tener muy claro de qué se está hablando, qué es lo que se quiere conocer, cuáles son los datos que se conocen. Dado que en la mayor parte de los casos los problemas se plantean en forma escrita, la comprensión lectora se constituye en un elemento crítico.
    Por esta razón, el docente debe prestar especial atención a que el enunciado del problema está siendo debidamente comprendido. En este sentido, resultan muy útiles preguntas del tipo: ¿A qué se refiere el problema? ¿Podrías contarlo con tus propias palabras? ¿Qué nos están preguntando? ¿Qué información se conoce que puede ayudar a resolver el problema? Solo cuando estamos seguros que los estudiantes han comprendido claramente el enunciado del problema podemos seguir adelante.
    Luego de comprender el contenido del problema, comienza la búsqueda de una estrategia para su resolución. Aquí se trata de ver la relación que existe entre la información que se desea obtener y los datos o información de que se dispone y determinar cuál o cuáles de estos datos se podrían utilizar para llegar a la solución con ayuda de alguna herramienta matemática.
    Es importante destacar que la determinación de la estrategia de solución constituye la etapa más compleja dentro del proceso de resolución de un problema ya que exige
    tener claridad respecto del contenido del problema, identificar la información conocida relevante y eventualmente la información que podría ser necesaria pero que no se tiene a mano, manejar el significado de los conocimientos matemáticos disponibles, establecer relaciones entre lo que se desea saber y lo que ya se conoce o se puede averiguar, y seleccionar las herramientas matemáticas más apropiadas.
    El empleo de las herramientas matemáticas permiten obtener una solución al problema que es válida en el mundo de las matemáticas. Corresponde ahora interpretar dichos resultados a la luz del contexto del problema, es decir, a la luz de la situación problemática que pertenece al mundo real, y al mismo tiempo evaluar su consistencia.




    Pruebas ENLACE 2010

    Las pruebas ENLACE 2010, para el análisis de reactivos.



    El Cubo de Soma



    EL CUBO DE SOMA, UN POCO DE HISTORIA



    El Cubo de SOMA es un puzzle tridimensional, diseñado en 1936 por el poeta , soñador, matemático y escritor danés Piet Hein Está constituido por 7 piezas (6 de ellas formadas por 4 pequeños cubos y una sólo por 3) que son todas las figuras cóncavas que podemos formar con 3 ó 4 cubos pequeños adosados por una cara.
    Las siete figuras o piezas del Soma se pueden identificar con un número o con una letra. El problema "base" es formar un cubo.
    Se ha podido comprobar que se puede de 240 maneras diferentes, aunque Pablo Milrud ha calculado que este número puede llegar hasta 358. Así que, en principio, no debería de ser difícil encontrar una. Por añadidura hay otras muchas figuras que pueden realizarse con él.
    Lo normal es que afrontemos los desafíos y busquemos la solución a base de ensayo y error, pero sería aconsejable intentar primero ubicar las piezas más irregulares e intentar, a continuación, visualizar la posible posición de las demás en el espacio que nos queda. E
    En general, y debido a las 3 dimensiones, es más complicado que el tangram, pero resulta muy entretenido. Una cosa es cierta, cuantas mas haces, comprobarás que mas rápido las resuelves.
    Aquí, una liga que te llevará a armar el cubo de manera interactiva, de manera que encuentres tantas soluciones como tu creatividad te lo permita.



    Problemas y Curiosidades Matemáticas



    Diofanto:


    Su niñez duró 1/6 de su vida.
    Le creció la barba luego de un doceavo de lo que duró esa vida.
    Tras (1/7) se casó.
    Tuvo un hijo 5 años más tarde.
    Su hijo vivió la mitad de la vida del padre.
    El padre, Diofanto, pereció 4 años más tarde.


    ¿Cuál es la Ecuación de Diofanto?
    ¿Cuántos años vivió Diofanto?





    El Juego de los Dados de Pierre Berloquin



    Dos amigos, Aldo y Beto, van a jugar un juego con dos dados que no son convencionales.
    En lugar de números, sus caras llevan colores: cada cara puede ser roja o azul.El juego es así.
    Se arrojan los dados.
    Aldo gana si en los dos dados salen caras del mismo color. Es decir, si salen ambas rojas o ambas azules.
    Beto gana si salen caras de distinto color: una roja y una azul.
    Uno de los dados tiene cinco caras rojas y una azul.
    ¿Cuántas caras rojas y cuántas azules debería tener el otro dado para que el juego sea parejo? (Es decir, para que Aldo y Beto tengan la misma probabilidad de ganar).

    Teorema de Tales-Les Luthiers

    Aquí, el Teorema de Tales, animosamente explicado por Les Luthiers y una actividad interactiva relacionada con el tema

     



    Un poco de humor: La Cumbia Matematica

    Matemáticas Interactivas con Geogebra



    A continuación se presenta una serie ctividades interactivas para trabajar con los estudiantes a través del Programa de Geometría Dinámica "Geogebra", de manera que éstos puedan manipular los objetos, resolver problemas y construir sus propias conclusiones.


    Aquí, el link para descargar  Geogebra

      Pruebas de Matemáticas y Solución de Problemas-PISA

      A continuación, se presenta la sección de la prueba PISA 2003 dedicada a las Matemáticas con el objeto de difundir la totalidad de las preguntas de Matemáticas y de Solución de problemas que la OCDE ha hecho públicas de entre las utilizadas en las pruebas de PISA 2003 y se resumen los marcos teóricos de Matemáticas, materia principal de la evaluación de 2003, de modo que los docentes de la asignatura conozcan y analicen el tipo de pruebas y los planteamientos teóricos que sustentan los Programas Internacionales  de Evaluación en que México participa.

      Pruebas de Matemáticas y Solución de Problemas-PISA

      Matemáticas Recreativas


      ¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
      Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".
      Ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.
      Pero es que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que señalaré a continuación, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.
      En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.
      Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.
      Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada.
      Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.
      Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.
      Es mi intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización de los juegos en la enseñanza. El primero consiste en un ensayo de desarrollo heurístico a través de los juegos. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que, a mi parecer, constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico, la resolución de problemas, puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. El segundo esquema presenta, a través de un listado de temas, actitudes y actividades matemáticas, cómo los juegos pueden utilizarse para motivar, enriquecer e iluminar la ocupación con ellas.
      Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos.
      Lo que sigue viene a ser, en sus líneas generales, un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya ¿Cómo Resolverlo?, ilustradas aquí con algunos juegos que a mí, espigando en la literatura, me han parecido adecuados. El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolución de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemático, y cómo, efectivamente, muchos de los hábitos adecuados para la tarea matemática podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos escogidos de juegos.

      Juegos para compartir con los alumnos:

      viernes, 5 de noviembre de 2010

      Planes de Clase


      Entre el currículum prescrito y el currículum real hay una tarea sumamente importante que es la planificación de actividades de estudio. Esto no es equiparable a cumplir con un requisito administrativo, implica seleccionar y analizar las actividades que se van a plantear a los alumnos, en función de los procedimientos que se pretende movilizar y a la vez hacer anticipaciones sobre lo que puede ocurrir. Esto que se dice tan fácil requiere de tiempo y mucha reflexión. ¿Por qué no compartir la tarea? La planificación no tiene por qué ser un trabajo individual que se usa una vez y se desecha, por el contrario, puede ser el resultado de un esfuerzo colectivo, que se prueba y se mejora a través del tiempo y que da pie para que los grupos colegiados dialoguen en torno a la práctica docente. Esta es la razón por la cual se incluyen en esta página los planes de clase diarios que cubren el programa de matemáticas para el primer grado, con la expectativa de que podamos mejorarlos con base en la experiencia diaria.